Question

6．在數列{a_n}中，${a_n}={10^{\frac{n}{11}}}$，記T_n=a₁•a₂•…•a_n，則使${T_n}＞{10^5}$成立的最小正整數n=11．

Answer 1

分析 由T_n=a₁•a₂•…•a_n，根據同底數冪的乘法可知：T_n=$1{0}^{\frac{1}{11}+\frac{2}{11}+\frac{3}{11}+…+\frac{n}{11}}$，根據等差數列的前n項和公式，${T_n}＞{10^5}$，即可求得$\frac{（1+n）n}{22}$＞5，即可求得n的最小正整數．

解答 解：T_n=a₁•a₂•…•a_n，
=$1{0}^{\frac{1}{11}}$•$1{0}^{\frac{2}{11}}$•$1{0}^{\frac{3}{11}}$•…•$1{0}^{\frac{n}{11}}$，
=$1{0}^{\frac{1}{11}+\frac{2}{11}+\frac{3}{11}+…+\frac{n}{11}}$，
=$1{0}^{\frac{1+2+3+…+n}{11}}$，
=$1{0}^{\frac{（1+n）n}{22}}$
∵${T_n}＞{10^5}$，
∴$\frac{（1+n）n}{22}$＞5，
∴n²+n-110＞0，解得：n＞10或n＜-11，
由n∈N*，
最小正整數為：11．
故答案為：11．

點評 本題考查等差數列前n項和公式的應用，考查同底數冪的乘法，考查計算能力，屬于中檔題．