Question

4．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且$PA=AD=DC=\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求三棱錐B-AMC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥DC，PA⊥DC，從而CD⊥面PAD，由此能證明面PAD⊥面PCD．
（2）三棱錐B-AMC的體積V_B-AMC=V_M-ABC，由此利用等體積法能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，∴AD⊥DC，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DC，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．
解：（2）∵四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，
且$PA=AD=DC=\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點，
∴點M到平面ABC的距離d=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{4}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×AB×AD$=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴三棱錐B-AMC的體積V_B-AMC=V_M-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{48}$．

點評 本題考查南面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．