Question

3．已知f（x）=e^x-ax-1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．討論y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，若存在極值，求出極值．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式，對a進行分類討論，確定x在不同情況下導函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調(diào)性和極值．

解答 解：由f（x）=e^x-ax-1，得f'（x）=e^x-a．
①當a≤0時，則f'（x）=e^x-a＞0對x∈R恒成立，
此時f（x）在R上單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．                            
②當a＞0時，
由f'（x）=e^x-a＞0，得到x＞lna，
由f'（x）=e^x-a＜0，得到x＜lna，
所以，a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）；遞減區(qū)間是（-∞，lna）． 
當x=lna時，有極小值，極小值為a-1-alna
綜上，當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無極值，
當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（lna，+∞）；遞減區(qū)間是（-∞，lna），極小值a-1-alna．

點評 本題考查的知識點是，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，關鍵是分類討論，屬于中檔題．