Question

12．若函數(shù)f（x）=x²+x-2alnx在[1，e]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$]
• B． （-∞，1]
• C． （-1，$\frac{3}{2}$]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．即2x+1-$\frac{2a}{x}$≥0，x∈[1，e]?a≤2x²_min，x∈[1，e]．利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+x-2alnx，（x∈[1，e]），f′（x）=2x+1-$\frac{2a}{x}$，
∵函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．
∴2x+1-$\frac{2a}{x}$≥0，x∈[1，e]?a≤$\frac{1}{2}$（2x²+x）_min，x∈[1，e]．
令g（x）=$\frac{1}{2}$（2x²+x），則g（x）在[1，e]單調(diào)增函數(shù)．
∴g（x）≤g（1）=$\frac{3}{2}$．
∴a≤$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．