Question

1．已知關(guān)于x的二次方程x²-2（2k+1）x+k²-3=0有實數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求k的值．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程與判別式的關(guān)系以及根與系數(shù)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵關(guān)于x的二次方程x²-2（2k+1）x+k²-3=0有實數(shù)根，
∴判別式△=4（2k+1）²-4（k²-3）≥0，即3k²+4k+4≥0，
∵4²-4×3×4=16-48=-32＜0，
∴3k²+4k+4≥0恒成立，
且x₁+x₂=2（2k+1），x₁x₂=k²-3，
∵兩根之積等于兩根之和的2倍，
∴2（x₁+x₂）=x₁x₂，
即4（2k+1）=k²-3，
即k²-8k-7=0，
則k=$\frac{8±\sqrt{64+4×7}}{2}$=$\frac{8±\sqrt{92}}{2}$=$\frac{8±2\sqrt{23}}{2}$=4±$\sqrt{23}$．

點評 本題主要考查一元二次方程的求解，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．