Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，若對任意單位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量三角形不等式的關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：由絕對值不等式得$\sqrt{6}$≥|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|=|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$|，
于是對任意的單位向量$\overrightarrow{e}$，均有|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，
∵|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=5+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
∴|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）|=$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，
因此|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{e}$|的最大值$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$≤$\sqrt{6}$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤$\frac{1}{2}$，
下面證明：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$可以取得$\frac{1}{2}$，
（1）若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|，則顯然滿足條件．
（2）若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|，此時(shí)|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=5-1=4，
此時(shí)|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2于是|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-$\overrightarrow$•$\overrightarrow{e}$|x≤2，符號(hào)題意，
綜上$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值是$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)以及向量三角形不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．