Question

7．某高中為適應(yīng)“新高考模式改革”，滿足不同層次學(xué)生的需要，決定從高一年級開始，在每周的周二、周四、周五的課外活動期間同時開設(shè)物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在任何一天參加任何一門科目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座（規(guī)格：各科達到預(yù)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座），統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，以上各學(xué)科講座各天滿座的概率如表：

	物理	化學(xué)	生物	信息技術(shù)
周二	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{4}$
周四	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
周五	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$

（1）求一周內(nèi)物理輔導(dǎo)講座在周二、周四、周五都不滿座的概率；
（2）設(shè)周四各輔導(dǎo)講座的科目數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)物理輔導(dǎo)講座在周二、周四、周五都不滿座為事件A，由題意得利用對立事件概率計算公式能求出物理輔導(dǎo)講座在周二、周四、周五都不滿座的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)物理輔導(dǎo)講座在周二、周四、周五都不滿座為事件A，
由題意得：
物理輔導(dǎo)講座在周二、周四、周五都不滿座的概率：
P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{24}$．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$（1-\frac{1}{2}）^{3}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{3}{32}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{6}{15}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$+${C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=$（\frac{1}{2}）^{3}×（1-\frac{1}{4}）+{C}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$×$（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=4）=$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{32}$，
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{3}{32}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{32}$

∴EX=$0×\frac{3}{32}+1×\frac{6}{15}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{3}{16}+4×\frac{1}{32}$=$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式的合理運用．