設(shè)函數(shù)f(x)=ax+(a,b∈Z),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)證明:曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求出此定值.


解:(1)f′(x)=a-,

于是

解得或

因a,b∈Z,故f(x)=x+.

(2)在曲線上任取一點(x0,x0+).

由f′(x0)=1-知,過此點的切線方程為

y-=[1-](x-x0).

令x=1得y=,

切線與直線x=1交點為(1,).

令y=x,

得y=2x0-1,

切線與直線y=x交點為(2x0-1,2x0-1).

直線x=1與直線y=x的交點為(1,1).

從而所圍成的三角形的面積為

=2.

所以,所圍成的三角形的面積為定值2.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知二次函數(shù)f(x)=cx2-4x+a+1的值域是[1,+∞),則+的最小值是　　　　. 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


在一次數(shù)學實驗中,運用計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):

x

-2.0

-1.0

0

1.0

2.0

3.0

y

0.24

0.51

1

2.02

3.98

8.02

則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系與下列函數(shù)最接近的(其中a,b為待定系數(shù))是(　　)

(A)y=a+bx   (B)y=a+bx

(C)y=ax2+b  (D)y=a+

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


.函數(shù)f(x)=sin2(2x+)的導數(shù)是(　　)

(A)f′(x)=2sin(2x+)    (B)f′(x)=4sin(2x+)

(C)f′(x)=sin(4x+) (D)f′(x)=2sin(4x+)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln x,則f(x)在點M(1,f(1))處的切線方程為　                  . 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


若f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是(　)

(A)[-1,+∞) (B)(-1,+∞)

(C)(-∞,-1] (D)(-∞,-1)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(6<x<11),年銷售為u萬件,若已知-u與(x-)2成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.

(1)求年銷售利潤y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2(t為常數(shù)且t∈(0,1))所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為()

(A)    (B)    (C)    (D)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案