Question

某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(6<x<11),年銷售為u萬件,若已知-u與(x-)²成正比,且售價為10元時,年銷量為28萬件.

(1)求年銷售利潤y關(guān)于售價x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求售價為多少時,年利潤最大,并求出最大年利潤.

Answer 1

:(1)設(shè)-u=k(x-)²,

∵售價為10元時,年銷量為28萬件,

∴-28=k(10-)²,

解得k=2.

∴u=-2(x-)²+=-2x²+21x+18.

∴y=(-2x²+21x+18)(x-6)

=-2x³+33x²-108x-108(6<x<11).

(2)y′=-6x²+66x-108

=-6(x²-11x+18)

=-6(x-2)(x-9).

令y′=0,

得x=2(舍去)或x=9,

顯然,當(dāng)x∈(6,9)時,y′>0;

當(dāng)x∈(9,11)時,y′<0.

∴函數(shù)y=-2x³+33x²-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.

∴當(dāng)x=9時,y取最大值,且y_max=135,

∴售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.