Question

19．若二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與直線y=x無交點，現有下列結論：
①若a=1，b=2，則c＞$\frac{1}{4}$
②若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x對一切實數x都成立
③函數g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點
④若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定沒有實數根
其中正確的結論是①③④⑤（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

分析 （1）把a和b帶入二次函數解析式與y=x聯(lián)立，根據△＜0求得c的范圍．
（2）根據題意知f（1）=a+b+c=0，二次函數f（x）=ax²+bx+c有一個零點（1，0），則f（1）=0＜1，可得②錯誤．
（3）根據已知條件求得△大于零，進而求得函數g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x聯(lián)立消去y后二次方程△＜0推斷出函數g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點．
（4）函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，可以推斷出當a＞0時，f（x）＞x，進而可知f[f（x）]=f（x）．
（5）由函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，推斷出f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．進而推斷出f[f（x）]=x沒有實數根．

解答 解：（1）f（x）=x²+2x+c，
令f（x）=x=x²+2x+c，
整理得x²-x+c=0，要使函數f（x）的圖象與直線y=x無交點，
需△=1-4c＜0，即c＞$\frac{1}{4}$，故①正確．
（2）依題意知f（1）=a+b+c=0，
故二次函數f（x）=ax²+bx+c有一個零點（1，0），
∴若a+b+c=0，則不等式f（x）＞x不是對一切實數x都成立，
故②錯誤．
（3）聯(lián)立二次函數和直線方程整理得ax²+（b-1）x+c=0，圖象無交點，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}-bx+c=0}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
消去y得ax²+bx+c=0，△=（b-1）²-4ac＜0，
∴函數g（x）=ax²-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點，
故③正確．
（4）因為函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以當a＞0時，f（x）＞x
∴f[f（x）]=f（x），
∴f[f（x）]=f（x）＞x恒成立．故④結論正確．
（5）因為函數f（x）的圖象與直線y=x沒有交點，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因為f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x沒有實數根；
故⑤結論正確．
故答案為：①③④⑤．

點評 本題主要考查了二次函數的性質．利用好二次函數的圖象，運用數形結合的思想是解決問題的關鍵．