Question

5．如圖，A，B，C是橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，BC過橢圓M的中心，且滿足AC⊥BC，BC=2AC．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若y軸被△ABC的外接圓所截得弦長為9，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）確定△OAC是以角C為直角的等腰直角三角形，可得點的坐標，代入橢圓方程，可得a，b的關系，即可求橢圓的離心率；
（2）求出△ABC的外接圓的方程，由垂徑定理得$\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{10}}}{4}a）}^2}-{{（\frac{a}{4}）}^2}}=\frac{9}{2}$，求出a，可得b，即可求橢圓方程．

解答 解：（1）因為BC過橢圓M的中心，所以BC=2OC=2OB，
又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C為直角的等腰直角三角形，…（3分）
則$A（a，0），C（\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}），B（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}），AB=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$，
所以$\frac{{{{（\frac{a}{2}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（-\frac{a}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，則a²=3b²，
所以${c^2}=2{b^2}，e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；…（7分）
（2）△ABC的外接圓圓心為AB中點$P（\frac{a}{4}，\frac{a}{4}）$，半徑為$\frac{{\sqrt{10}}}{4}a$，
則△ABC的外接圓為：${（x-\frac{a}{4}）^2}+{（y-\frac{a}{4}）^2}=\frac{5}{8}{a^2}$，…（10分）
由垂徑定理得$\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{10}}}{4}a）}^2}-{{（\frac{a}{4}）}^2}}=\frac{9}{2}$得a=6，
所以所求的橢圓方程為$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{12}=1$．…（15分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查三角形的外接圓，考查學生的計算能力，屬于中檔題．