Question

18．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x²+ax+b=0有兩個實(shí)數(shù)根α、β，證明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4+b且|b|＜4的充要條件．

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 證明：（1）充分性：由韋達(dá)定理，得|b|=|α•β|=|α|•|β|＜2×2=4．
設(shè)f（x）=x²+ax+b，則f（x）的圖象是開口向上的拋物線．
又|α|＜2，|β|＜2，∴f（±2）＞0．
即有4+b＞2＞a-（4+b）
∵|b|＜4，
∴4+b＞0，
即2|a|＜4+b
（2）必要性：
由2|a|＜4+b，得f（±2）＞0且f（x）的圖象是開口向上的拋物線．
∴方程f（x）=0的兩根α，β同在（-2，2）內(nèi)或無實(shí)根．
∵α，β是方程f（x）=0的實(shí)根，
∴α，β同在（-2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜2．

點(diǎn)評 本題主要考查充分條件和必要條件的證明，注意要證明充分性和必要性兩個方面．