Question

6．過(guò)拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)交C于P，Q兩點(diǎn)，若線(xiàn)段PF與QF的長(zhǎng)度分別為m，n，則m²+n²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2}{{a}^{2}}$
• B． 2a²
• C． $\frac{1}{2}$a²
• D． $\frac{1}{2{a}^{2}}$

Answer 1

分析 求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)出直線(xiàn)PQ的方程，代入拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，求得m，n的式子，以及m+n，mn的關(guān)系式，運(yùn)用配方，即可得到最小值．

解答 解：拋物線(xiàn)C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4a}$），準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-$\frac{1}{4a}$，
設(shè)PQ直線(xiàn)方程是y=kx+$\frac{1}{4a}$，
則x₁，x₂是方程ax²-kx-$\frac{1}{4a}$的兩根，
可設(shè)x₁＞0，x₂＜0，P（x₁，ax₁²），Q（x₂，ax₂²），
x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{1}{4{a}^{2}}$，
由拋物線(xiàn)的定義可得m=ax₁²+$\frac{1}{4a}$，n=ax₂²+$\frac{1}{4a}$，
m+n=a（x₁+x₂）²-2ax₁x₂+$\frac{1}{2a}$=$\frac{{k}^{2}}{a}$+$\frac{1}{a}$，
mn=a²x₁²x₂²+$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）
=$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1+2{k}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{4{a}^{2}}$，
則m²+n²=（m+n）²-2mn=$\frac{（1+{k}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1+{k}^{2}}{2{a}^{2}}$
=$\frac{1}{2{a}^{2}}$[2（k²+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$]≥$\frac{1}{2{a}^{2}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0，取得最小值，且為$\frac{1}{2{a}^{2}}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，主要考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題和易錯(cuò)題．