Question

16．線(xiàn)段AB是過(guò)拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）焦點(diǎn)F的弦，M是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作此拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)相交于N點(diǎn)．
（I）求證：N點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB與x軸交于Q點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=4p²，△ABN的面積的取值范圍限定在[5$\sqrt{5}$，45$\sqrt{5}$]時(shí)，求動(dòng)線(xiàn)段QF的軌跡所形成的平面區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （I）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由斜截式寫(xiě)出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的積，再利用導(dǎo)數(shù)寫(xiě)出過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程，然后整體運(yùn)算可求得兩切線(xiàn)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，從而得到兩切線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡方程．
（Ⅱ）根據(jù)$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=4p²，求出直線(xiàn)的斜率，利用△ABN的面積的取值范圍限定在[5$\sqrt{5}$，45$\sqrt{5}$]，求出p的范圍，即可求動(dòng)線(xiàn)段QF的軌跡所形成的平面區(qū)域的面積．

解答 （I）證明：由拋物線(xiàn)x²=2py，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，$\frac{p}{2}$）．
設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$），
直線(xiàn)l：y=kx+$\frac{p}{2}$代入拋物線(xiàn)x²=2py得：x²-2pkx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²…①．
又拋物線(xiàn)方程為：y=$\frac{1}{2p}$x²，
求導(dǎo)得y′=$\frac{1}{p}$x，
∴拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)的斜率為$\frac{{x}_{1}}{p}$，切線(xiàn)方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）…②
拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)的斜率為$\frac{{x}_{2}}{p}$，切線(xiàn)方程為y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）…③
由①②③得：y=-$\frac{p}{2}$．
∴N的軌跡方程是y=-$\frac{p}{2}$，即N在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；
（Ⅱ）解：由條件得M（0，-$\frac{p}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）•（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）=p²k²=4p²，∴k²=4，k=±2，
由于$\overrightarrow{NF}$=（-pk，p），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）（1，k）
∴$\overrightarrow{NF}$•$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁）（-pk+pk）=0
∴$\overrightarrow{NF}$⊥$\overrightarrow{AB}$．
又|$\overrightarrow{NF}$|=$\sqrt{5}$p，|$\overrightarrow{AB}$|=y₁+y₂+p=2pk²-2p=10p，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{NF}$||$\overrightarrow{AB}$|=5$\sqrt{5}$p²．
而S_△ABN的取值范圍是[5$\sqrt{5}$，45$\sqrt{5}$]
∴5$\sqrt{5}$≤5$\sqrt{5}$≤45$\sqrt{5}$，1≤p²≤9．
∴1≤p≤3．
k=±2時(shí)，動(dòng)線(xiàn)段QF的軌跡所形成的平面區(qū)域的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{3-1}{2}×\frac{3-1}{4}$=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積的取值范圍、拋物線(xiàn)方程與性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)，屬于中檔題．