Question

6．已知α、β、γ∈C，且|α|=|β|=|γ|=1，求證：
（1）$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$是實(shí)數(shù)；
（2）$\frac{（α+β）（β+γ）（γ+α）}{αβγ}$是實(shí)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)α=cosθ₁+isinθ₁，β=cosθ₂+isinθ₂，γ=cosθ₃+isinθ₃，由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可證明$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$是實(shí)數(shù)；
（2）把分子展開進(jìn)一步化簡得到2+$\frac{α}{γ}+\frac{α}{β}+\frac{γ}{β}+\frac{γ}{α}+\frac{β}{γ}+\frac{β}{α}$，再由第一問的結(jié)論即可證明$\frac{（α+β）（β+γ）（γ+α）}{αβγ}$是實(shí)數(shù)．

解答 證明：設(shè)α=cosθ₁+isinθ₁，β=cosθ₂+isinθ₂，γ=cosθ₃+isinθ₃，
（1）$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=$\frac{cos{θ}_{1}+isin{θ}_{1}}{cos{θ}_{2}+isin{θ}_{2}}$$+\frac{cos{θ}_{2}+isin{θ}_{2}}{cos{θ}_{1}+isin{θ}_{1}}$
=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{1}-si{n}^{2}{θ}_{1}+2isin{θ}_{1}cos{θ}_{1}+co{s}^{2}{θ}_{2}-si{n}^{2}{θ}_{2}+2isin{θ}_{2}cos{θ}_{2}}{cos{θ}_{1}cos{θ}_{2}-sin{θ}_{1}sin{θ}_{2}+i（sin{θ}_{1}cos{θ}_{2}+cos{θ}_{1}sin{θ}_{2}）}$
=$\frac{cos2{θ}_{1}+cos2{θ}_{2}+i（sin2{θ}_{1}+sin2{θ}_{2}）}{cos（{θ}_{1}+{θ}_{2}）+isin（{θ}_{1}+{θ}_{2}）}$
=$\frac{2cos（{θ}_{1}+{θ}_{2}）cos（{θ}_{1}-{θ}_{2}）+2isin（{θ}_{1}+{θ}_{2}）cos（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}{cos（{θ}_{1}+{θ}_{2}）+isin（{θ}_{1}+{θ}_{2}）}$
=2cos（θ₁-θ₂），為實(shí)數(shù)；
（2）$\frac{（α+β）（β+γ）（γ+α）}{αβγ}$=$\frac{（αβ+αγ+{β}^{2}+βγ）（γ+α）}{αβγ}$=$\frac{{α}^{2}β+αβγ+{α}^{2}γ+α{γ}^{2}+α{β}^{2}+{β}^{2}γ+αβγ+β{γ}^{2}}{αβγ}$
=2+$\frac{{α}^{2}β+{α}^{2}γ+α{γ}^{2}+α{β}^{2}+{β}^{2}γ+β{γ}^{2}}{αβγ}$=2+$\frac{α}{γ}+\frac{α}{β}+\frac{γ}{β}+\frac{γ}{α}+\frac{β}{γ}+\frac{β}{α}$，
由$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$是實(shí)數(shù)，同理可得$\frac{α}{γ}+\frac{γ}{α}$，$\frac{γ}{β}+\frac{β}{γ}$都是實(shí)數(shù)，
∴$\frac{（α+β）（β+γ）（γ+α）}{αβγ}$是實(shí)數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查靈活分析問題和解決問題的能力，解答（2）的關(guān)鍵是想到用（1）的結(jié)論，是中檔題．