Question

已知k＞0，求函數(shù)y=sin²x+k（cosx-1）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由同角的平方關(guān)系將函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦的式子，令cosx=t（-1≤t≤1），則y=-t²+kt+1-k，再配方，討論當(dāng)0＜

k

2

≤1時(shí)，當(dāng)

k

2

＞1時(shí)，函數(shù)的最小值，注意區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，即可得到．

解答： 解：函數(shù)y=sin²x+k（cosx-1）
=-cos²x+kcosx+1-k，
令cosx=t（-1≤t≤1），
則y=-t²+kt+1-k
=-（t-

k

2

）²+

k2

4

-k+1．
由于k＞0，
則當(dāng)0＜

k

2

≤1時(shí)，即0＜k≤2，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2k＜0，
當(dāng)x=1時(shí)，y=0，
則最小值為-2k；
當(dāng)

k

2

＞1即k＞2時(shí)，區(qū)間[-1，1]是增區(qū)間，
則當(dāng)x=-1時(shí)，取得最小值-2k．
綜上，當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)的最小值為-2k．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求最值，考查運(yùn)用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．