Question

已知函數f（x）=x+

4

x

，
（1）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（2）判斷f（x）在定義域上的奇偶性，并說明理由；
（3）求f（x）在[

1

2

，3]上的最值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據均值不等式等號成立的條件，判斷出單調區(qū)間，再運用單調性定義證明．
（2）用奇偶性定義證明．
（3）根據對鉤函數的單調性求解最值．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x+

4

x

，在區(qū)間（0，+∞）．
x+

4

x

≥4，（x=2等號成立），x=2時取最小值4，
∴可判斷在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增
f（x₁）=x₁+

4

x1

，f（x₂）=x₂+

4

x2

，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=（x₁-x₂）（

x1x2-4

x 1x2

）
當0＜x₁＜x₂＜2時，則x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
所以在（0，2）單調遞減．
當2＜x₁＜x₂時，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以在（2，+∞）單調遞增．
（2）f（x）=x+

4

x

，（0，+∞）∪（-∞，0），
∵f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），
∴f（x）在定義域上是偶函數．
（3）f（x），x∈[

1

2

，3]，
根據（1）可知∈[

1

2

，2]單調遞減，在[2，3]單調遞增，
f（2）=4，f（3）=

13

3

，f（

1

2

）=

17

2

，
所以最大值為

17

2

，最小值為4，

點評：本題考查了函數的單調性，奇偶性的定義，性質，運用求最值．是考查函數的基本題型．