Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)點(diǎn)F₁作圓x²+y²=a²的一條切線與雙曲線的漸近線在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)A，同時(shí)這條切線交雙曲線的右支于點(diǎn)B，且|AB|=|BF₂|，則雙曲線的漸近線的斜率為（　　）

• A． ±2
• B． ±$\sqrt{5}$
• C． ±3
• D． ±5

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得|BF₁|-|BF₂|=2a，結(jié)合條件可得|AF₁|=2a，運(yùn)用勾股定理，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b=2a，進(jìn)而得到漸近線的斜率．

解答 解：由雙曲線的定義可得，
|BF₁|-|BF₂|=2a，
由|AB|=|BF₂|，|BF₁|=|AB|+|AF₁|，
可得|AF₁|=2a，
由點(diǎn)F₁作圓x²+y²=a²的切線，可得：
|OF₁|²=|OA|²+|AF₁|²，
即有c²=a²+（2a）²=5a²，
可得b²=c²-a²=4a²，
即b=2a，
即有漸近線的斜率為±$\frac{a}$=±2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線的斜率，注意運(yùn)用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．