Question

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為e，則“e＞$\sqrt{2}$”是“0＜a＜1”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 運用雙曲線的離心率公式，結合a，b，c的關系，由充分必要條件的定義，以及不等式的性質，即可得到結論．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$=$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$，
若e＞$\sqrt{2}$，即$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$＞1，解得0＜a＜2．
由0＜a＜2，推不到0＜a＜1；
由0＜a＜1，可得e=$\sqrt{1+\frac{4}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$，
由充分必要條件的定義，可得
“e＞$\sqrt{2}$”是“0＜a＜1”的必要不充分條件．
故選：B．

點評 本題考查充分必要條件的判斷，注意運用雙曲線的離心率公式，考查運算能力，屬于基礎題．