Question

5．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的離心率為$\sqrt{5}$．則b=2，若以（2，1）為圓心，r為半徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線組成的圖形只有一個公共點，則半徑r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，c，運用離心率公式計算可得b=2；再由直線和圓相切的條件：d=r，運用點到直線的距離公式計算即可得到所求半徑．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的a=1，c=$\sqrt{1+^{2}}$，
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{1+^{2}}}{1}$=$\sqrt{5}$，
解得b=2；
由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得漸近線方程為y=±2x，
由以（2，1）為圓心，r為半徑的圓與漸近線y=2x相切，
可得d=r，即r=$\frac{|2×2-1|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：2，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率公式的運用，考查點到直線的距離公式，直線和圓相切的條件：d=r，屬于中檔題．