Question

2．已知F₁、F₂分別是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點，過點F₂作漸近線的垂線，垂足為點A，若$\overrightarrow{{F_2}A}=2\overrightarrow{AB}$，且點B在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓內(nèi)，則C的離心率取值范圍為（　　）

• A． $（\sqrt{5}，+∞）$
• B． （2，+∞）
• C． （1，2）
• D． $（1，\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，求得與漸近線垂直的直線方程，聯(lián)立方程解得A的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可得B的坐標(biāo)，運用點在圓內(nèi)的條件可得|BF₁|＜c，化簡整理，運用離心率公式即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
過點F₂與漸近線垂直的直線方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
設(shè)B（m，n），由$\overrightarrow{{F_2}A}=2\overrightarrow{AB}$，可得（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{ab}{c}$）=2（m-$\frac{{a}^{2}}{c}$，n-$\frac{ab}{c}$），
可得m=$\frac{3{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c}{2}$，n=$\frac{3ab}{2c}$，即B（$\frac{3{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c}{2}$，$\frac{3ab}{2c}$），
由點B在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓內(nèi)，
可得|BF₁|＜c，可得（$\frac{3{a}^{2}}{2c}$-$\frac{c}{2}$+c）²+（$\frac{3ab}{2c}$）²＜c²，
化為$\frac{9{a}^{4}+9{a}^{2}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{3}{2}$a²＜$\frac{3}{4}$c²，即為$\frac{9{a}^{2}}{4}$+$\frac{3}{2}$a²＜$\frac{3}{4}$c²，即c²＞5a²，由e=$\frac{c}{a}$，可得e＞$\sqrt{5}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用漸近線方程求得交點，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查點與圓的位置關(guān)系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．