Question

18．已知曲線C的方程為$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4，經(jīng)過點（-1，0）作斜率為k的直線l，l與曲線C交于A、B兩點，l與直線x=-4交于點D，O是坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OB}$，求證：k²=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)k，使△AOB為銳角三角形？若存在，求k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線l和曲線C的方程得到∴x₁+x₂=$\frac{-{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$…①，x₁ x₂=$\frac{{4k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$…②，2x₂-x₁=-4…③聯(lián)合從而證出結(jié)論；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，從而得到結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$+$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$=4＞2，
∴曲線C是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，4為長軸的橢圓，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即3x²+4y²=12，
∵直線l過（-1，0），斜率為k，
∴l(xiāng)方程是：y=kx+k，
∵直線l與直線x=-4交于點D，∴D（-4，-3k），
設(shè)A（x₁，kx₁+k），B（x₂，kx₂+k），
由$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}+{4y}^{2}=12}\\{y=kx+k}\end{array}\right.$得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$…①，
x₁ x₂=$\frac{{4k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$…②
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OB}$得2x₂-x₁=-4…③
由①③焦點：x₁=$\frac{4}{3+{4k}^{2}}$，x₂=-$\frac{4+{8k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$，
把x₁，x₂ 代入②化簡得：4k⁴-k²-5=0，
解得：k²=$\frac{5}{4}$或k²=-1舍，
∴k²=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）解：由（1）得：$\overrightarrow{OA}$=（x₁，kx₁+k），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，kx₂+k），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁ x₂+（kx₁+k）（kx₂+k）
=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²
=$\frac{-{5k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$＜0，
∴∠AOB＞$\frac{π}{2}$，
∴不存在實數(shù)k，使△AOB為銳角三角形．

點評 本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量問題，是一道中檔題．