Question

3．已知焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M（1，$\frac{1}{2}$），動點(diǎn)A，B（不與定點(diǎn)M重合）均在橢圓上，且直線MA與MB的斜率之和為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求證直線AB經(jīng)過定點(diǎn)；
（Ⅲ）求△ABO的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，結(jié)合a²=b²+c²，及點(diǎn)$M（1，\frac{1}{2}）$在橢圓上可求a，b進(jìn)而可求橢圓方程
（Ⅱ）分類討論：當(dāng)直線AB與x軸垂直時，易求直線AB的方程；當(dāng)直線AB不與x軸垂直時，設(shè)直線AB為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立y=kx+m與x²+4y²=2，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，然后結(jié)合已知斜率關(guān)系即可求直線AB的方程，即可求解；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）整理方程可求k的范圍，結(jié)合弦長公式可求AB，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線AB的距離，代入可求△ABO的面積，利用基本不等式可求面積的最大值

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
可知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又因?yàn)閍²=b²+c²，所以a²=4b²．
由定點(diǎn)$M（1，\frac{1}{2}）$在橢圓上可得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，故${b^2}=\frac{1}{2}$，a²=2．
所以橢圓G的方程為x²+4y²=2．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時，設(shè)A（s，t）（s≠1），則B（s，-t）．
由題意得：$\frac{{t-\frac{1}{2}}}{s-1}+\frac{{-t-\frac{1}{2}}}{s-1}=1$，即s=0．所以 直線AB的方程為x=0．
當(dāng)直線AB不與x軸垂直時，可設(shè)直線AB為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=kx+m代入x²+4y²=2得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-2=0．
所以 ${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{{4{m^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$．
由直線MA與MB的斜率之和為1可得$\frac{{{y_1}-\frac{1}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{1}{2}}}{{{x_2}-1}}=1$①，
將y₁=kx₁+m和y₂=kx₂+m代入①，
并整理得$（2k-1）{x_1}{x_2}+（m-k+\frac{1}{2}）（{x_1}+{x_2}）-2m=0$②，
將${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{{4{m^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$代入②
并整理得2km+2m²+2k+m-1=0，
分解因式可得（2k+2m+1）（m+1）=0，
因?yàn)橹本�AB：y=kx+m不經(jīng)過點(diǎn)$M（1，\frac{1}{2}）$，所以2k+2m+1≠0，故m=-1．
所以直線AB的方程為y=kx-1，經(jīng)過定點(diǎn)（0，-1）．
綜上所述，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（0，-1）．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可得：△=32k²-8＞0，${k^2}＞\frac{1}{4}$.$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{4{k^2}-1}}}{{4{k^2}+1}}$．
因?yàn)?nbsp;坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{1}{{\sqrt{1+k{\;}^2}}}$，
所以△ABO的面積$S=\frac{{\sqrt{2}•\sqrt{4{k^2}-1}}}{{4{k^2}+1}}$（${k^2}＞\frac{1}{4}$）．
令$\sqrt{4{k^2}-1}=t$，則t＞0，且$S=\frac{{\sqrt{2}t}}{{{t^2}+2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{t+\frac{2}{t}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$t=\sqrt{2}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時，△ABO的面積S取得最大值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，試題具有一定的綜合性，對計(jì)算能力的要求較強(qiáng)．