Question

14．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=sinα-cosα\\ y=sin2α\end{array}\right.（α$為參數(shù)），若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線E的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}m$，若曲線C與曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為$[-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}）∪\left\{{\frac{5}{8}}\right\}$．

Answer 1

分析 化參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程為普通方程，利用曲線C與曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，推出結(jié)果即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x=sinα-cosα\\ y=sin2α\end{array}\right.⇒y=1-{x^2}（-\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}）$，
曲線E的直角坐標(biāo)方程為直線l：x-y+2m=0，
當(dāng)直線與拋物線段相切時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}y=1-{x^2}\\ y=x+2m\end{array}\right.⇒{x^2}+x+2m-1=0⇒△=1-4（2m-1）=0⇒m=\frac{5}{8}$，
可得公共點(diǎn)為$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$滿(mǎn)足題目的條件；而拋物線段的兩個(gè)端點(diǎn)為$A（-\sqrt{2}，-1）、B（\sqrt{2}，-1）$，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)可求得$m=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)可求得$m=-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$，由圖可知，
當(dāng)$-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}≤m＜\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$時(shí)，直線l與拋物線段有唯一的公共點(diǎn)．
故答案為：$[-\frac{\sqrt{2}+1}{2}，\frac{\sqrt{2}-1}{2}）∪\left\{\frac{5}{8}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．