Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PD⊥平面ABCD即可得到BD⊥PD，再由BD⊥AD，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到BD⊥平面PAD，從而得出PA⊥BD；
（Ⅱ）首先以DA，DB，DP三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)PD=AD=1，從而可確定圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$即可求得法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，則根據(jù)sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}＞|$即可求得sinθ．

解答 解：（I）PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD；
∴PD⊥BD，即BD⊥PD；
又BD⊥AD，AD∩PD=D；
∴BD⊥平面PAD，PA?平面PAD；
∴PA⊥BD；
（II）分別以DA，DB，DP三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=AD=1，則：
D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1）；
∴$\overrightarrow{DC}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{3}，-1）$；
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=z=0}\end{array}\right.$，取y=1，∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，0）$；
記直線PB與平面PCD所成角為θ，sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞|$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 考查線面垂直的性質(zhì)及判定定理，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，平面法向量的概念及求法，以及線面角和直線方向向量和平面法向量的夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．