Question

2．某教師對(duì)全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：

	積極參加班級(jí)工作	不太主動(dòng)參加班級(jí)工作	合計(jì)
學(xué)習(xí)積極性高	18	a1	25
學(xué)習(xí)積極性一般	a2	19	a4
合計(jì)	24	a3	50

（1）求2×2列聯(lián)表中a₁，a₂，a₃，a₄的值，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：是否有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)”？說(shuō)明理由；
（2）隨機(jī)抽查這個(gè)班的2名學(xué)生，求至少有1人積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率．
附：

P（x2≥k）	0.050	0.010	0.001	x2=$\frac{n（ad-bc）^2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
k	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件中所給的數(shù)據(jù)，得出a₁，a₂，a₃，a₄的值，把求得的數(shù)據(jù)代入求觀測(cè)值的公式求出觀測(cè)值，把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較得到有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)系”．
（2）求出隨機(jī)抽查這個(gè)班的2名學(xué)生，共有${C}_{50}^{2}$種不同的抽樣方法，至少有1人積極參加班級(jí)工作的學(xué)生有${C}_{50}^{2}$-${C}_{26}^{2}$種方法，即可求出至少有1人積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率．

解答 解：（1）由題意，a₁=7，a₂=6，a₃=26，a₄=25，
由統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式K²=$\frac{50×（18×19-7×6）^{2}}{25×25×24×26}$≈11.54，
由于11.54＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度有關(guān)系”．
（2）隨機(jī)抽查這個(gè)班的2名學(xué)生，共有${C}_{50}^{2}$種不同的抽樣方法，至少有1人積極參加班級(jí)工作的學(xué)生有${C}_{50}^{2}$-${C}_{26}^{2}$種方法，
所以至少有1人積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率為1-$\frac{{C}_{26}^{2}}{{C}_{50}^{2}}$=$\frac{36}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率的計(jì)算，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的數(shù)據(jù)填在列聯(lián)表中，注意數(shù)據(jù)的位置不要出錯(cuò)．