Question

8．已知⊙O的直徑AB=8，⊙B與⊙O相交于點C、D，⊙O的直徑CF與⊙B相交于點E，設(shè)⊙B的半徑為x，OE的長為y．
（1）如圖，當(dāng)點E在線段OC上時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)點E在直徑CF上時，如果OE的長為3，求公共弦CD的長；
（3）設(shè)⊙B與AB相交于G，試問△OEG能否為等腰三角形？如果能，請直接寫出$\widehat{BC}$的長度（不必寫過程）；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BE利用三角形形似推導(dǎo)函數(shù)關(guān)系式；
（2）通過點B向弦CE作垂線段BM，利用BM與CD的關(guān)系，分兩種情況點E在OC上，在OF上求解；
（3）根據(jù)三角形形似推導(dǎo)三角形為等腰三角形，求解弦BC的長．

解答 解：（1）連接BE，∵⊙O的直徑AB=8，∴OC=OB$\frac{1}{2}$AB=4．∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．$\frac{CE}{CB}=\frac{BC}{OC}$
∵CE=OC-OE=4-y∴$\frac{4-y}{x}=\frac{x}{4}$
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=4-$\frac{1}{4}{x}^{2}$，定義域為0＜x≤4；
（2）作BM⊥CE，垂足為M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=$\frac{1}{2}CE$．
設(shè)兩圓的公共弦CD與AB相交于H，則AB垂直平分CD．
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM
當(dāng)點E在線段OC上時，EM=$\frac{1}{2}CE$=$\frac{1}{2}$（OC-OE）=$\frac{1}{2}（4-3）=\frac{1}{2}$，
∴OM=EM+OE=$\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$，
∴BM=$\sqrt{O{B}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$，∴CD=2CH=2BM=$\sqrt{15}$．
當(dāng)點E在線段OF上時，EM═$\frac{1}{2}CE$=$\frac{1}{2}$（OC+OE）=$\frac{1}{2}（4+3）=\frac{7}{2}$，
∴OM=EM-OE=$\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}$
∴BM=$\sqrt{O{B}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
∴CD=2CH=2BM=3$\sqrt{7}$；
（3）△OEG能為等腰三角形，$\widehat{BC}$的長度為$\frac{4}{5}π$或$\frac{12π}{7}$．

點評 本題是三角形相似的高難度應(yīng)用，難度較大，還需要進行分類討論，屬于壓軸題．