Question

13．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{9}{2}$-n．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{9-2{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的定義只要證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=常數(shù)即可；
（2）$\frac{9-2{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{9}{2}$-n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=\frac{9}{2}-1$=$\frac{7}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=$\frac{9}{2}-n-[\frac{9}{2}-（n-1）]$=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{7}{2}$，公差為1；
（2）解：$\frac{9-2{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{9-2（\frac{9}{2}-n）}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}+\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴${T}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“作差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．