Question

18．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞1，證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（-x）；
（3）結(jié)合前面兩問(wèn)所得的結(jié)論，判斷并說(shuō)明命題“若a＞1，對(duì)任意x₁，x₂，x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂），則x₁+x₂＜0．”的真假．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，然后解不等式即可；
（2）這是一問(wèn)不等式恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解，只需構(gòu)造函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求最值即可；
（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論不難得到結(jié)論．

解答 解（1）f′（x）=a^xlna+2x-lna，令g（x）=f′（x）=a^xlna+2x-lna，則g′（x）=a^xln2a+2＞0，∴g（x）為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
又∵g（0）=0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）．
（2）由題意，即證當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，a^x-a^-x-2xlna＞0恒成立．
令g（x）=a^x-a^-x-2xlna．則$g′（x）=（{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}-2）lna$．
因?yàn)閍＞1，所以lna＞0，又${a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}＞2\sqrt{{a}^{x}•\frac{1}{{a}^{x}}}=2$，
所以${a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}-2＞0$，故g′（x）＞0，x∈（0，+∞）．
而當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→0．所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，a^x-a^-x-2xlna＞0恒成立．
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞f（-x）．
（3）由題意設(shè)x₁＜0＜x₂，且f（x₁）=f（x₂）…①
則由（2）可知f（x₂）＞f（-x₂），
代入①可得f（x₁）＞f（-x₂），而x₁＜0，-x₂＜0．
又f（x）在（-∞，0）上遞減函數(shù)，所以x₁＜-x₂，
即x₁+x₂＜0．
故該命題為真命題．

點(diǎn)評(píng) 本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題目，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，考查分析解決問(wèn)題的能力．