Question

20．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x，給出如下結(jié)論：
①對(duì)?m∈Z，有f（2^m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；      
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)遞減的充分條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②④
• B． ①②
• C． ①③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①利用已知可得：f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），即可判斷出正誤；
②取x∈（2^m，2^m+1），則$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；$f（\frac{x}{{2}^{m}}）$=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，從而f（x）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…，即可判斷出正誤；
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假設(shè)存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$=10，又，2^x變化如下：2，4，8，16，32，即可判斷出正誤；
④根據(jù)②可知：由②知當(dāng)x⊆（2^k，2^k+1）時(shí)，f（x）=2^k+1-x單調(diào)遞減，即可判斷出正誤．

解答 解：①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），正確；
②取x∈（2^m，2^m+1），則$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]；$f（\frac{x}{{2}^{m}}）$=2-$\frac{x}{{2}^{m}}$，
從而f（x）=2$f（\frac{x}{2}）$=${2}^{2}f（\frac{x}{{2}^{2}}）$）=…=2^m$f（\frac{x}{{2}^{m}}）$=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…，所以f（x）∈[0，+∞），正確；
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假設(shè)存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$=10，又，2^x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在，所以該命題錯(cuò)誤；
④根據(jù)②可知：由②知當(dāng)x⊆（2^k，2^k+1）時(shí)，f（x）=2^k+1-x單調(diào)遞減，為減函數(shù)，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)遞減的充分條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），∴④正確．
綜合以上可得：正確的序號(hào)是①②④．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．