Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x－x－1，g(x)＝x²e^ax.

(1)求f(x)的最小值；

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)a＝1時，對于在(0,1)中的任一個常數(shù)m，是否存在正數(shù)x₀使得f(x₀)>g(x₀)成立？如果存在，求出符合條件的一個x₀；否則說明理由．

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域是R，

f′(x)＝e^x－1，

且在(－∞，0)上f′(x)<0，在(0，＋∞)上f′(x)>0，

所以f(x)_min＝f(0)＝0.

(2)g′(x)＝2xe^ax＋ax²e^ax＝(2x＋ax²)e^ax.

①當(dāng)a＝0時，若x<0，則g′(x)<0，若x>0，則g′(x)>0.

所以當(dāng)a＝0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．

②當(dāng)a>0時，由2x＋ax²>0，解得x<－或x>0，

由2x＋ax²<0，解得－<x<0.

所以當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．

③當(dāng)a<0時，由2x＋ax²>0，解得0<x<－，

由2x＋ax²<0，解得x<0或x>－.

所以當(dāng)a<0時，函數(shù)g(x)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)．

(3)假設(shè)存在這樣的x₀滿足題意，則

f(x₀)>g(x₀)，ex₀－x₀－1>xex₀，x＋－1<0，(*)

要找一個x₀>0，使(*)式成立，只需找到當(dāng)x>0時，函數(shù)h(x)＝x²＋－1的最小值h(x)_min<0即可，

h′(x)＝x，

令h′(x)＝0得e^x＝，則x＝－ln m，取x₀＝－ln m，

當(dāng)0<x<x₀時，h′(x)<0，當(dāng)x>x₀時，h′(x)>0，

所以h(x)_min＝h(x₀)＝h(－ln m)＝(ln m)²－mln m＋m－1.

下面只需證明：當(dāng)0<m<1時，(ln m)²－mln m＋m－1<0成立即可，

令p(m)＝(ln m)²－mln m＋m－1，m∈(0,1)，

則p′(m)＝(ln m)²≥0，從而p(m)在m∈(0,1)時為增函數(shù)，則p(m)<p(1)＝0，從而(ln m)²－mln m＋m－1<0得證．

于是h(x)的最小值h(－ln m)<0，因此可找到一個正常數(shù)x₀＝－ln m(0<m<1)，使得f(x₀)>g(x₀)成立．