Question

設函數(shù)f(x)＝e^x(sin x－cos x)(0≤x≤2 012π)，則函數(shù)f(x)的各極小值之和為(　　)

Answer 1

D

[解析]　f′(x)＝(e^x)′(sin x－cos x)＋e^x(sin x－cos x)′＝2e^xsin x，若f′(x)<0，則x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；若f′(x)>0，則x∈(2kπ，π＋2kπ)，k∈Z.所以當x＝2π＋2kπ，k∈Z時，f(x)取得極小值，其極小值為f(2π＋2kπ)＝e^2kπ＋2π[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e^2kπ＋2π×(0－1)＝－e^2kπ＋2π，k∈Z.因為0≤x≤2 012π，又在兩個端點的函數(shù)值不是極小值，所以k∈[0，1 004]，所以函數(shù)f(x)的各極小值構(gòu)成以－e^2π為首項，以e^2π為公比的等比數(shù)列，共有1 005項，故函數(shù)f(x)的各極小值之和為S_{1 005}＝－e^2π－e^4π－…－e^{2 010π}＝－，故選D.