Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，有下列命題：
①若ab＞c²，則C＜

π

3

②若a+b＞2c，則C＜

π

3

③若（a+b）c＜2ab，則C＞

π

2

④若a²+b²=c²，則C＜

π

2

．
其中正確的命題的序號為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：①利用余弦定理，將c²放大為ab，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞

1

2

，從而證明C＜

π

3

；②利用余弦定理，將c²放大為（

a+b

2

）²，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞

1

2

，從而證明C＜

π

3

；③只需舉反例即可證明其為假命題，可舉符合條件的等邊三角形；

解答： 解：①ab＞c²⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故①正確；
②a+b＞2c⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

4(a2+b2)-(a+b)2

8ab

≥

3

8

×

a2+b2

ab

-

1

4

≥

3

4

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故②正確；
③取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜

π

3

＜

π

2

，故③錯(cuò)誤；
④由勾股定理可得若a²+b²=c²，則C=

π

2

，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的知識，放縮法證明不等式的技巧，反證法和舉反例法證明不等式，有一定的難度，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．