Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=kx+1，且直線y=g（x）和函數(shù)y=f（x）的圖象相切．
（Ⅰ）求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x），若不等式（m-x）h′（x）＜x+1對任意x∈（0，+∞）恒成立（m∈Z，h′（x）為h（x）的導函數(shù)），求m的最大值..

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出切點坐標，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的值即可；
（Ⅱ）由x＞0，e^x-1＞0，問題轉化為m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，令φ（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出φ（x）的最小值，從而求出m的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）設切線的坐標為（t，e^t），由f（x）=e^x得f′（x）=e^x，
∴切線方程為y-e^t=e^t（x-t），即y=e^tx+（1-t）e^t，
由已知y=e^tx+（1-t）e^t和y=kx+1為同一條直線，
∴e^t=k，（1-t）e^t=1，
令r（x）=（1-t）e^x，則r′（x）=-xe^x，
當x∈（-∞，0）時，r′（x）＞0，r（x）單調(diào)遞增，
當x∈（0，+∞）時，r′（x）＜0，r（x）單調(diào)遞減，
∴r（x）≤r（0）=1，
當且僅當x=0時等號成立，∴t=0，k=1，
（Ⅱ）由于k=1，∴（m-x）h′（x）＜x+1?（m-x）（e^x-1）＜x+1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，∴m＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，
令φ（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，∴m＜φ（x）_min，φ′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-2）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
令t（x）=e^x-x-2，∵x＞0，∴t′（x）=e^x-1＞0，
∴t（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且t（1）＜0，t（2）＞0，
∴t（x）在（0，+∞）上存在唯一零點，設此零點為x₀，且x₀∈（1，2），
當x∈（0，x₀）時，φ′（x）＜0，當x∈（x₀，+∞）時，φ′（x）＞0，
∴φ（x）min=φ（x₀）=$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}-1}$+x₀，
由t（x₀）=0，∴${e}^{{x}_{0}}$=x₀+2，
∴φ（x₀）=x₀+1∈（2，3），
又∵m＜φ（x₀），m∈Z，
∴m的最大值為2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉化思想，是一道綜合題．