Question

1．（1）求證：2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$；
（2）若π＜α＜$\frac{3π}{2}$，證明$\frac{1+sinα}{\sqrt{1+cosα}-\sqrt{1-cosα}}$+$\frac{1-sinα}{\sqrt{1+cosα}+\sqrt{1-cosα}}$=-$\sqrt{2}$cos$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用1+cosα=2cos²$\frac{α}{2}$及同角三角函數(shù)關(guān)系式能證明2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
（2）由π＜α＜$\frac{3π}{2}$，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，利用二倍角公式化簡所求證明等式左邊等于右邊即可得證．

解答 證明：（1）2（1+cosα）-sin²α
=2×2cos2$\frac{α}{2}$-1+cos²α
=4cos2$\frac{α}{2}$-1+（2cos2$\frac{α}{2}$-1）²
=4cos2$\frac{α}{2}$-1+（2cos2$\frac{α}{2}$-1）²+4cos4$\frac{α}{2}$-4cos2$\frac{α}{2}$+1
=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
∴2（1+cosα）-sin²α=4cos⁴$\frac{α}{2}$．
（2）∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
∴左邊=$\frac{1+sinα}{-\sqrt{2}cos\frac{α}{2}-\sqrt{2}sin\frac{α}{2}}$+$\frac{1-sinα}{-\sqrt{2}cos\frac{α}{2}+\sqrt{2}sin\frac{α}{2}}$
=$\frac{（1+sinα）（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）}{-\sqrt{2}cosα}$+$\frac{（1-sinα）（sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}）}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{2cos\frac{α}{2}-2sinαsin\frac{α}{2}}{-\sqrt{2}cosα}$
=$\frac{\sqrt{2}cos\frac{α}{2}（1-2sin\frac{α}{2}）}{-cosα}$
=-$\sqrt{2}$cos$\frac{α}{2}$=右邊．
故得證．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等式的化簡證明，解題時要認(rèn)真審題，注意二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運用，注意轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．