Question

13．f（x）=x²+ax+sin$\frac{π}{2}$x，在（0，1）上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x）≥-a，令g（x）=2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x），通過(guò)求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=2x+a+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x），x∈（0，1），
由f′（x）≥0在（0，1）恒成立，
得2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x）≥-a，
令g（x）=2x+$\frac{π}{2}$cos（$\frac{π}{2}$x），
g′（x）=2-$\frac{{π}^{2}}{4}$sin（$\frac{π}{2}$x），
∵g′（x）在（0，1）遞減，且g′（0）＞0，g′（1）＜0，
∴g′（x）在（0，1）存在唯一零點(diǎn)x₀，
∴g（x）在（0，x₀）遞增，在（x₀，1）遞減，
由$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥-a}\\{g（1）≥-a}\end{array}\right.$，解得：a≥-$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．