Question

15．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，n∈N^*．記S_n=C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n．
（1）求S₁，S₂的值；
（2）求所有正整數(shù)n，使得S_n能被8整除．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二項(xiàng)式定理，化簡(jiǎn)整理，再由代入計(jì)算即可得到所求值；
（2）通過化簡(jiǎn)得到 S_n+2=3S_n+1-S_n，再由不完全歸納找規(guī)律得到結(jié)論，即可得到所求結(jié)論．

解答 解：（1）S_n=C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（${C}_{n}^{1}$•$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$+${C}_{n}^{2}$•（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²+…+${C}_{n}^{n}$••（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ）-
（${C}_{n}^{1}$•$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$+${C}_{n}^{2}$•（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²+…+${C}_{n}^{n}$••（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ）]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（1+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（1+$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，
即有S₁=$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$\sqrt{5}$=1；
S₂=$\frac{1}{\sqrt{5}}$•3•$\sqrt{5}$=3；
（2）S_n=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]，
S_n+2=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺²-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ⁺²]=$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]•
（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）-[（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]=3S_n+1-S_n，
即S_n+2=3S_n+1-S_n，n∈N^*，
因此S_n+2除以8的余數(shù)，完全由S_n+1，S_n除以8的余數(shù)確定，
因?yàn)閍₁=1，a₂=1，
所以S₁=C₁¹a₁=1，S₂=C₂¹a₁+C₂²a₂=3，S₃=3S₂-S₁=9-1=8，
S₄=3S₃-S₂=24-3=21，S₅=3S₄-S₃=63-8=55，
S₆=3S₅-S₄=165-21=144，S₇=3S₆-S₅=432-55=377，
S₈=3S₇-S₆=1131-144=987，S₉=3S₈-S₇=2961-377=2584，
由以上計(jì)算及S_n+2=3S_n+1-S_n可知，數(shù)列{S_n}各項(xiàng)除以8的余數(shù)依次是：
1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，
它是一個(gè)以6為周期的數(shù)列，從而S_n除以8的余數(shù)等價(jià)于n除以3的余數(shù)，
所以n=3k，k∈N^*，
即所求集合為：{n|n=3k，k∈N^*}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用二項(xiàng)式定理和不完全歸納，本題屬于難題．