Question

12．設(shè)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的以2為周期的周期函數(shù)且f（x）為偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4．
（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在y=f（x）（0≤x≤2）的圖象上，求這個(gè)矩形面積的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)-x∈[2，3]，利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出f（x），再利用函數(shù)的周期性求出x∈[1，2]的f（x）解析式；
（2）利用函數(shù)的周期性求出x∈[0，1]上的解析式，由（1）可得在[0，2]上的解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)和題意設(shè)兩頂點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)矩形面積公式代入求出S，再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性和極值，再求其最大值即可．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[-3，-2]時(shí)，-x∈[2，3]，
∵f（x）是偶函數(shù)，在區(qū)間[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4，
∴f（x）=f（-x）=-2（-x-3）²+4=-2（x+3）²+4．
當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，-3≤x-4≤-2，∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）=f（x-4）=-2[（x-4）+3]²+4=-2（x-1）²+4．
∴f（x）=-2（x-1）²+4（1≤x≤2）；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，2≤x+2≤3，∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）=f（x+2）=-2[（x+2）-3]²+4=-2（x-1）²+4．
∴f（x）=-2（x-1）²+4（0≤x≤1），
由（1）知，f（x）=-2（x-1）²+4（0≤x≤2），如右圖：
設(shè)D（x，t），C（2-x，t），則t=-2（x-1）²+4，
∴矩形ABCD的面積S（x）=|AB|×|BC|=（2-2x）t=（2-2x）（-2x²+4x+2）
=4（x³-3x²+x+1），
則S′（x）=4（3x²-6x+1），由S′=4（3x²-6x+1）=0得，
${x}_{1}=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$＞0，${x}_{2}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$＜2，
∴當(dāng)x＞$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$或x＜$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$＜x＜$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$時(shí)，f′（x）＜0，
則S（x）在（0，$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$）、（$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$，2）為增函數(shù)，在（$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$，$\frac{3+\sqrt{6}}{3}$）為減函數(shù)，
∴S（x）在x=$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$處取得極大值也是最大值，
∵S（$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$）=（2-2×$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$）[-2×$（\frac{3-\sqrt{6}}{3}）^{2}$+4×$\frac{3-\sqrt{6}}{3}$+2]=$\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{8}{3}$=$\frac{16\sqrt{6}}{9}$，
∴S（x）_max=$\frac{16\sqrt{6}}{9}$，
綜上可得，這個(gè)矩形面積的最大值是$\frac{16\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)的解析式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系，此題是一道中檔題，計(jì)算量比較大，考查學(xué)生的計(jì)算能力．