Question

設函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最大值時，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)，且當x≥0時，g（x）=f（x）e^-x，求當x＜0時g（x）的表達式，并求函數(shù)g（x）在R上的最小值及相應的x值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，即可用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最大值時，建立a，b，c的關系，即可寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質求出函數(shù)的表達式，即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
∴f（0）=2a+3=c，即c=2a+3，
∵f'（1）=0，
∴b=-2a．
用a分別表示b和c；
（Ⅱ）bc=-2a（2a+3）=-（2a+

3

2

）²+

9

4

，
∴當a=-

3

4

時，bc取得最大值時，
此時b=

3

2

，c=

3

2

，
即y=f（x）=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

；
（Ⅲ）當x≥0時，g（x）=f（x）e^-x，
當x＜0，則-x＞0時，
即g（-x）=f（-x）e^x=(-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

)e^x，
∵函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)，
∴g（-x）=f（-x）e^x=(-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

)e^x=g（x），
即g（x）=(-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

)e^x，x＜0．
此時，g'（x）=(-

3

4

x2-3x)ex，
由g'（x）＜0得，x＜-4，此時函數(shù)單調遞減，
由g'（x）＞0得，-4＜x＜0，此時函數(shù)單調遞增，
∴當x=-4時，函數(shù)取得最小值g（-4）=-

9

2

e-4，
∵函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)，
∴當x=4時，函數(shù)也取得最小值g（4）=-

9

2

e-4，
綜上當x=±4時，函數(shù)的最小值為-

9

2

e-4．

點評：本題主要考查導數(shù)的應用，要求熟練掌握導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，考查學生的計算能力，綜合性較強，難度較大．