• 已知各項均為整數(shù)的數(shù)列滿足,前6項依次成等差數(shù)列,從第5項起依次成等比數(shù)列.

    (1)求數(shù)列的通項公式;

    (2)求出所有的正整數(shù),使得

    (1);(2).

    【解析】

    試題分析:(1)首先根據(jù)條件前項成等差數(shù)列可以將,用公差的代數(shù)式表示,再由條件從第項起依次成等比數(shù)列可以得到關(guān)于公差的方程:,從而解得(舍去),即可得數(shù)列的通項公式為;(2)考慮到(1)中求得數(shù)列的分段性,因此首先可驗證時符合題意,時不合題意,接下來只需說明當(dāng),條件給出的方程無解即可:,

    ,則,∴,而這是不可能成立的,從而得證.

    試題解析:(1)設(shè)數(shù)列前項的公差為,則,(為整數(shù))

    又∵,,成等比數(shù)列,∴,即,得(舍去), 4 分

    當(dāng) 時,, 6 分 ∴,數(shù)列從第項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為,

    ∴當(dāng)時,,故, 8分

    (2)由(1)知,當(dāng)時等式成立,即,

    當(dāng)時等式成立,即, 10分 當(dāng)時等式不成立, 12分

    當(dāng)時,

    ,則,∴, 14分

    ,,從而方程無解,∴ .

    故所求. 16分

    考點:1.等差等比數(shù)列的通項公式與性質(zhì);2.數(shù)列與方程不等式相結(jié)合.

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    A., B.,

    C. D.

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