Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的中心為O，右頂點為A，在線段OA上任意選定一點M（m，0）（0＜m＜2），過點M作與x軸垂直的直線交C于P，Q兩點．
（Ⅰ）若橢圓C的長半軸為2，離心率$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（ⅱ）若m=1，點N在OM的延長線上，且|OM|，|OA|，|ON|成等比數(shù)列，試證明直線PN與C相切；
（Ⅱ）試猜想過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點G（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）的切線方程，再加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（ⅰ）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，計算即可得到橢圓方程；
（ⅱ）運用等比數(shù)列的性質，求得P，N的坐標，求出直線PN的方程，代入橢圓方程，計算判別式，即可得到直線PN與C相切；
（Ⅱ）在x軸上取點$N（\frac{a^2}{x_0}，0）$，連結GN，則直線GN為點G處的切線方程．設直線GN的方程為：$y=k（x-\frac{a^2}{x_0}）$，代入橢圓方程，計算判別式為0，即可得到切線方程．

解答 解：（Ⅰ）（ⅰ）因為$a=2，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
所以橢圓C的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（ⅱ）由已知條件得：|OM|=1，|OA|=2，
設P（1，y），則${y^2}=\frac{3}{2}$，所以$P（1，±\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$．
因為|OM|，|OA|，|ON|成等比數(shù)列，
所以|OA|²=|OM||ON|，即$|{ON}|=\frac{{{{|{OA}|}^2}}}{{|{OM}|}}=4$，所以N（4，0）．
直線PN的方程為：$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{6}（x-4）$代入橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
整理得：x²-2x+1=0．
因為△=4-4=0，
所以直線PN與C相切．
（Ⅱ）在x軸上取點$N（\frac{a^2}{x_0}，0）$，連結GN，則直線GN為點G處的切線方程．
證明：設直線GN的方程為：$y=k（x-\frac{a^2}{x_0}）$（其中$k=\frac{y_0}{{{x_0}-\frac{a^2}{x_0}}}=\frac{{{x_0}{y_0}}}{{x_0^2-{a^2}}}$），
把$y=k（x-\frac{a^2}{x_0}）$代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
整理得：$（{b^2}+{a^2}{k^2}）{x^2}-\frac{{2{a^4}{b^2}}}{x_0}x+\frac{{{a^6}{k^2}}}{x_0^2}-{a^2}{b^2}=0$，
判別式$△=（{a^4}-{a^2}x_0^2）{k^2}-{b^2}x_0^2$，…（1），
因為點G在橢圓C上，所以$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，…（2）
又$k=\frac{y_0}{{{x_0}-\frac{a^2}{x_0}}}=\frac{{{x_0}{y_0}}}{{x_0^2-{a^2}}}$，…（3）
把（2）（3）代入（1）得：
判別式$△=（{a^4}-{a^2}x_0^2）{（\frac{{{x_0}{y_0}}}{{x_0^2-{a^2}}}）^2}-{b^2}x_0^2=\frac{{x_0^2（{a^2}y_0^2+{b^2}x_0^2-{a^2}{b^2}）}}{{{a^2}-x_0^2}}=0$，
所以直線GN為所求的切線．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運用，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用判別式為0，考查化簡整理的運算求解能力，屬于中檔題．