11.O是坐標(biāo)原點,點A(-1,1),點P(x,y)為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-y≤0}\\{y≤kx+1}\end{array}\right.$的一個動點,函數(shù)f(λ)=|$\overrightarrow{OP}$-λ$\overrightarrow{OA}$|(λ∈R)的最小值為M,若M≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$恒成立,則k的取值范圍是( 。
A.k≤1B.-1≤k≤1C.0≤k≤3D.k≤1或≥3

分析 畫出滿足條件的可行域,分析出函數(shù)f(λ)的最小值為M≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$恒成立表示可行域內(nèi)的點到直線OA:x+y=0的最大距離不大于$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$,結(jié)合可行域的圖象,分類討論,可得答案.

解答 解:滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 2x-y≤0\\ y≤kx+1\end{array}\right.$的可行域如下圖所示:

函數(shù)f(λ)=|$\overrightarrow{OP}$-λ$\overrightarrow{OA}$|(λ∈R)表示P點到直線OA上一點的距離,
若函數(shù)f(λ)的最小值為M≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$恒成立,
則僅需可行域內(nèi)的點到直線OA:x+y=0的最大距離不大于$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$即可,
若k≥2,則不存在滿足條件的點,
若k<2,則存在B點($\frac{1}{2-k}$,$\frac{2}{2-k}$)到直線OA:x+y=0的距離最遠(yuǎn),
此時d=$\frac{\left|\frac{3}{2-k}\right|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$,
解得:k≤1,
故選:A

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,關(guān)鍵是對題意的理解,是難題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知橢圓E的中心在原點,焦點在x軸上,焦距為2$\sqrt{2}$,左頂點和上、下頂點連接成的三角形為正三角形.
(1)求橢圓E的方程:
(2)若對于點M(m,0),存在x軸上的另外-點N,使得過點N的任意直線l,當(dāng)l與橢圓E交于相異兩點P,Q時.$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$為定值.求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),周期為$\frac{π}{2}$,$f(\frac{π}{3})=1$,求$f(\frac{7π}{6})$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.命題p:?x∈R,使2x>x;命題q:?x∈(0,$\frac{π}{2}$),0<sinx<1,下列是真命題的是( 。
A.p∧(¬q)B.(¬p)∨(¬q)C.p∨(¬q)D.(¬p)∧q

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.若過點P(5,-2)的雙曲線的兩條漸近線方程為x-2y=0和x+2y=0,則該雙曲線的實軸長為6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1,
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在區(qū)間$[{-\frac{π}{4},\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積=$\frac{1}{2}$(弦×矢+矢2).弧田,由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差,按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為$\frac{2}{3}$π,弦長等于9米的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與實際面積的差為$\frac{27\sqrt{3}}{2}$+$\frac{27}{8}$-9π.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.以下向量中,可以作為直線$|{\begin{array}{l}1&0&1\\ x&2&1\\ y&1&1\end{array}}|=0$的一個方向向量是(  )
A.$\overrightarrow d=({1,-2})$B.$\overrightarrow d=({1,2})$C.$\overrightarrow d=({-2,1})$D.$\overrightarrow d=({2,1})$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案