Question

3．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及兩角和的正弦函數(shù)公式可求解析式f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可的積極性．
（2）由x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可求2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=1+cos2x+sin2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），…（2分）
∴$T=\frac{2π}{2}=π$…（5分）
（2）因為x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，所以2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，…（6分）
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，即x=$\frac{π}{8}$時，f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，…（8分）
當2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$時，即x=-$\frac{π}{4}$時，f（x）的最小值為-1．…（10分）

點評 本題主要考查了倍角公式及兩角和的正弦函數(shù)公式，周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，屬于基礎題．