Question

4．已知點P為拋物線C：x²=2py（p＞0）上任意一點，O為坐標原點，點M（0，m），若|PM|≥|OM|恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，$\frac{p}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{p}{2}$]
• C． （-∞，p]
• D． （-∞，2p]

Answer 1

分析 設拋物線C：x²=2py（p＞0）上任意一點P（x，$\frac{{x}^{2}}{2p}$），利用條件分類討論，最后綜合可得答案．

解答 解：設拋物線C：x²=2py（p＞0）上任意一點P（x，$\frac{{x}^{2}}{2p}$），
點M（0，m），|PM|≥|OM|
①m≤0，顯然適合；
②若m＞0，點M（0，m），|PM|≥|OM|，即m²≤x²+（$\frac{{x}^{2}}{2p}$-m）²，即m≤p+$\frac{{x}^{2}}{4p}$，此時0＜m≤p．
∴m的取值范圍是（-∞，p]．
故選：C．

點評 本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生對拋物線和不等式知識的靈活掌握．