4.已知點P為拋物線C:x2=2py(p>0)上任意一點,O為坐標原點,點M(0,m),若|PM|≥|OM|恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為(  )
A.(-∞,$\frac{p}{4}$]B.(-∞,$\frac{p}{2}$]C.(-∞,p]D.(-∞,2p]

分析 設拋物線C:x2=2py(p>0)上任意一點P(x,$\frac{{x}^{2}}{2p}$),利用條件分類討論,最后綜合可得答案.

解答 解:設拋物線C:x2=2py(p>0)上任意一點P(x,$\frac{{x}^{2}}{2p}$),
點M(0,m),|PM|≥|OM|
①m≤0,顯然適合;
②若m>0,點M(0,m),|PM|≥|OM|,即m2≤x2+($\frac{{x}^{2}}{2p}$-m)2,即m≤p+$\frac{{x}^{2}}{4p}$,此時0<m≤p.
∴m的取值范圍是(-∞,p].
故選:C.

點評 本題主要考查了拋物線的應用.考查了學生對拋物線和不等式知識的靈活掌握.

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