Question

15．已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，側(cè)面CC₁D₁D垂直底面ABCD，BC=2AB=DC₁=2，BD₁=2$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面AB₁C₁D⊥平面ABCD；
（2）點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，求二面角A₁-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CD₁，利用線面垂直的性質(zhì)定理、勾股定理及面面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DC₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，則所求值轉(zhuǎn)化為平面DAE的法向量與平面A₁AE的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值．

解答 （1）證明：連結(jié)CD₁，設(shè)CD₁∩DC₁=F，則F是CD₁、DC₁的中點(diǎn)，
∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD，
又∵平面CC₁D₁D⊥平面ABCD，∴平面CC₁D₁D⊥BC，∴BC⊥CD₁，
∵BC=2，BD₁=2$\sqrt{3}$，∴CD₁=2$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{2}$，
在△DFC中，DF=$\frac{1}{2}$DC₁=1，CD=1，
∴CD²+DF²=CF²，∴DF⊥DC，
又BC⊥平面CC₁D₁D，∴DF⊥BC，
∴DF⊥平面ABCD，DF?平面AB₁C₁D，
∴平面AB₁C₁D⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）知能以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DC₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，
則平面DAE的法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，0，2），
設(shè)平面A₁AE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=（0，-1，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，2，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{4+4+1}×2}$=$\frac{1}{3}$，
即所求二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角，空間中面面的位置關(guān)系，向量數(shù)量積運(yùn)算，注意解題方法的積累，建立坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．