Question

8．已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，點M、N分別為A′B，B′C′的中點．
（1）求證：MN∥平面A′ACC′；
（2）求三棱錐C-MNB的體積．

Answer 1

分析 （1）設A′B′的中點為E，連接EM，EN，利用三角形的中位線，得出線線平行，用面面平行判定定理即可得到面EMN∥面ACC′A′，即可得到線面平行；
（2）利用等體積轉換，可得結論．

解答 （1）證明：設A′B′的中點為E，連接EM，EN，
∵點M，N分別為A′B和B′C′的中點，
∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′?平面ACC′A′，AA′?平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′，
∵NE∩ME=E，
∴面EMN∥面ACC′A′，
∵MN?面EMN，
∴MN∥面ACC′A′； 
（2）解：由題意，∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴A到BC的距離為$\sqrt{2}$，
∴三棱錐C-MNB的體積=三棱錐M-CNB的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4×\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}$

點評 本題考查了面面平行平行的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．