Question

9．已知${a_n}={2^{n-2}}$，數(shù)列{b_n}滿足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），則$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：∵${a_n}={2^{n-2}}$，∴a_2n+1=2^2n-1，a_2n+3=2²ⁿ⁺¹．
∴b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=（2n-1）（2n+1），
則$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．