Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

1

2

(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若?x∈R，f（x-1）≤f（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求出求不等式f（x）＞1的解集；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)條件若?x∈R，f（x-1）≤f（x），利用數(shù)形結(jié)合即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

x-3，x≥2 -1，1＜x＜2 -x，0≤x＜1

，
又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故根據(jù)圖象，不等式f（x）＞1的解集為：（4，+∞）．
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

-x， 0≤x≤a2 -a2， a2＜x＜2a2 x-3a2， x≥2a2

，
由f（x）是奇函數(shù)，∴作出f（x）的圖象，
∵?x∈R，f（x-1）≤f（x），∴f（x-1）的圖象恒在f（x）圖象的下方，
即將f（x）的圖象往右平移一個(gè)單位后恒在f（x）的下方，
∴-3a²+1≥3a²，解得a²≤

1

6

，
即-

6

6

≤a≤

6

6

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．