Question

（1）證明函數(shù)f（x）=x²-1在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（2）討論函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用作差法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（-∞，0）上的增減性；
（2）用作差法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義討論f（x）在（0，+∞）上的增減性．

解答： 解：（1）證明：任取x₁＜x₂＜0，則
f（x₂）-f（x₁）=（x22-1）-（x12-1）
=（x₂-x₁）（x₂+x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；---（6分）
（2）任取0＜x₁＜x₂，則
f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

1

x2

）-（x₁+

1

x1

）
=

(x2-x1)(x2x1-1)

x2x1

；
當(dāng)x₂＞x₁＞1時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）；
當(dāng)1＞x₂＞x₁＞0時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）；
∴函數(shù)在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．---（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定問題，解題時(shí)應(yīng)利用作差法來討論函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．