Question

3．若集合A={x|x²+ax+b=0}，B={x|x²+cx+6=0}，問是否存在實(shí)數(shù)a，b，c使A∪B=B且A∩B={2}，如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 由A∩B={2}，把x=2代入x²+cx+6=0求得c值，進(jìn)一步求得B，結(jié)合A∪B=B，分A為單元素集合與雙元素集合求解得答案．

解答 解：若存在實(shí)數(shù)a，b，c使A∩B={2}，則2∈B，
∴2²+2c+6=0，解得c=-5，則B={x|x²-5x+6=0}={2，3}，
又∵A∪B=B，∴A⊆B，
當(dāng)A為單元素集合時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4b=0}\\{2a+b+4=0}\end{array}\right.$，解得a=-4，b=4；
當(dāng)A={2，3}時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{2+3=-a}\\{2×3=b}\end{array}\right.$，解得a=-5，b=6．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=-4，b=4，c=-5或a=-5，b=6，c=-5滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，考查了分類討論的思想方法，是中檔題．